%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% %%% %%% Datei " hypotes.tex " %%% %%% %%% %%% Das Format entspricht der internationalen Norm 21.0 cm x 29.7 cm %%% %%% Falls Sie ein anderes Format wuenschen, aendern Sie bitte die %%% %%% entsprechenden Kommandos im Kopf des Dokumentes %%% %%% %%% %%% Transformieren Sie das Dokument mit "latex ....." %%% %%% Die Warnungen "Overfull \hbox" brauchen Sie nicht zu beachten %%% %%% %%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \documentstyle[12pt]{article} \parskip1ex plus0.5ex minus0.2ex \textwidth15.5cm \textheight23cm \oddsidemargin0mm \evensidemargin-4.5mm \topmargin-10mm \begin{document} \begin{tabular}{|c|} \hline \\ {\bf \hspace*{5mm} \"Ubersetzung des Artikels} \\ {\bf Pri la testado de statistikaj hipotezaroj} \\ erschienen in \\ {\bf \large \hspace*{5mm} Acta Sanmarinensia 2.5/1992 } \\ \hspace*{5mm}{\bf ISBN 83-85033-07-1 } \\[4mm] \hspace*{5mm}{\bf Ver\"offentlicht im WWW unter der URL:} \\ {\bf http://www.forst.uni-muenchen.de/publ/quednau/hipotez.html } \\[4mm] \hspace*{5mm} % {\bf De tiu-\^ci publika\^{\j}o estas haveblaj traduka\^{\j}oj en la lingvoj : % \hspace*{5mm} }\\ % \hspace*{3cm}{\bf % germana % } \\ \\ \hline \end{tabular} \\[5mm] \begin{center} {\bf \large Das Testen statistischer Hypothesenfamilien } de H. D. Quednau, M\"unchen (D)\\ ( Vorlesung anl\"a\ss ich der SUS 5 in San Marino, August 1988 ) \end{center} {\bf Zusammenfassung} \\ \ \ \ An einem praktischen Beispiel wird dargestellt, warum multiple Test\-verfahren not\-wendig sind, und es werden die ein\-fachsten und grund\-legenden dieser Ver\-fahren vor\-gestellt, n\"amlich das einfache Bon\-ferroni- und das Bonferroni-Holm-Ver\-fahren. Es wird gezeigt, wie sich die Bonferroni-Holm-Prozedur bei gegen\-seitiger Ab\-h\"an\-gig\-keit der Test\-hypo\-thesen durch ein von {\sc Shaffer} (1986) vor\-ge\-schla\-genes Verfahren ver\-bessern l\"a\ss t, und wie die Verfahren zu modi\-fi\-zieren sind, wenn eine der Test\-hypo\-thesen eine Global\-hypo\-these ist. \ In den Kursen der Angewandten Statistik, die in einer wachsenden Anzahl von Studieng\"angen verpflichtend werden, wird i.a. die Vorgehensweise der schlie\ss enden Statistik folgenderma\ss en dargestellt: W\"ahrend einer wissenschaftlichen Untersuchung m\"ochte man eine Vermutung, die man \"uber irgend einen Tatbestand hat, auf seine Richtigkeit \"uberpr\"ufen. Diese Vermutung transformiert man in ein Paar statistischer Hypothesen: Die Testhypothese $H_0$, die man widerlegen m\"ochte, und die Alternativhypothese $H_1$, die man annehmen wird, wenn man $H_0$ tats\"achlich ablehnen kann. Man definiert die Grundgesamtheit, f\"ur die das Ergebnis gelten soll, und w\"ahlt den Test f\"ur $H_0$. Aus der Grundgesamtheit nimmt man eine repr\"asentative Zufallsstichprobe, aus ihr gewinnt man durch Z\"ahlen oder Messen Zahlen, die man in eine Beobachtungsmatrix eintr\"agt. Aus dieser Beobachtungsmatrix berechnet man eine Teststatistik und aus der Teststatistik die \"Uberschreitungswahrscheinlichkeit f\"ur das betreffende $H_0$-$H_1$-Paar. Falls die \"Uberschreitungswahrscheinlichkeit kleiner ist als der kritische Wert (der meistens gleich 0.05 ist), so bedeutet das, da\ss \ man $H_0$ ablehnen mu\ss . Diese Vorgehensweise stellt sicher, da\ss \ die Irrtumswahrscheinlichkeit erster Art auf jeden Fall kleiner gleich $\alpha$ ist, mit anderen Worten : Falls $H_0$ richtig ist, dann ist die Gefahr, sie trotzdem irrt\"umlich abzulehnen, kleiner gleich $\alpha$. Zur Illustration ein kleines Beispiel: Ein Pflanzenz\"uchter hat eine neue Weizensorte gez\"uchtet, und er will nachweisen, da\ss \ sie besser ist als eine andere Sorte, die bisher in Gebrauch war. Er entschlie\ss t sich, die ``G\"ute'' durch das \"Ahrengewicht zu messen. Da ein statistischer Test nicht einen unendlich kleinen Unterschied nachweisen kann, definiert er eine kritische Differenz d und formuliert das Hypothesenpaar: \[ %%% H_0 : \mu_{\mbox{nov}} - \mu_{\mbox{kut}} \le d \quad ; \quad H_0 : \mu_{neu} - \mu_{alt} \le d \quad ; \quad H_1 : \mu_{neu} - \mu_{alt} > d \quad ; \] wobei $\mu_{\mbox{[neu,alt]}}$ der Erwartungswert des \"Ahrengewichts der neuen bzw. der alten Sorte ist. Die Grundgesamtheit ist hypothetisch, sie ist gleich der unendlichen Menge aller denkbaren Weizen\-pflanzen, die zu einer der beiden untersuchten Sorten geh\"oren und unter den gegebenen Versuchsbedingungen aufgezogen werden. Die Testhypothese m\"ochte man mit dem t-Test pr\"ufen. Man macht ein Experiment, in dem man Weizen\-pflanzen in einem vollst\"andig randomisierten Versuchsplan aufzieht, und nimmt diese Pflanzen als Stichprobe. Deren \"Ahrengewicht tr\"agt man in die Beobachtungsmatrix ein, aus der man die Teststatistik T berechnet. Falls $H_0$ wahr ist, dann gilt: \mbox{ $T \sim t(n_{neu} - n_{alt} - 2)$. } Da es sich in unserem Fall um einen einseitigen Test handelt, dessen Ablehnungsbereich aus dem oberen Bereich der Zahlengerade besteht, gilt f\"ur die \"Uberschreitungswahrscheinlichkeit \[ p = 1 - \int_{- \infty}^T DF \: [t \, (n_{neu} + n_{alt} - 2)] \; (\phi) \; d\phi \:, \] mit $DF \: [t(n)]$ (Dichtefunktion der t-Verteilung mit $n$ Freiheitsgraden) Bei diesem einfachen Beispiel entspricht die Vorgehensweise genau der elementaren, bekannten statistischen Methodik. Leider ist die Situation in der Praxis jedoch komplizierter. Meistens hat man nicht EINE Vermutung, die sich durch EINEN Test untersuchen l\"a\ss t, der wiederum EINE \"Uberschreitungswahrscheinlichkeit liefert und somit eine Aussage mit genau bekannter Irrtumswahrscheinlichkeit erster Art erm\"oglicht. Zum Beispiel interessiert sich der eben erw\"ahnte Pflanzenz\"uchter nicht nur f\"ur das \"Ahrengewicht, sondern gleichzeitig auch f\"ur den Geschmack, die Back- und Mahlf\"ahig\-keit, die Widerstandsf\"ahigkeit gegen Viren, Pilze und Insekten usw. Er hat also eine ganze {\bf Familie} von Vermutungen, die er in eine Hypothesenfamilie $H_0^1$ bis $H_0^k$ transformiert. Die einzelnen $H_0^j$ haben in diesem Fall eine \"ahnliche Form, n\"amlich: \[ H_0^j \; : \; \mu_{neu,j} - \mu_{alt,j} \le d_j \quad ; \quad H_1^j \; : \; \mu_{neu,j} - \mu_{alt,j} > d_j \quad ; \quad j = 1,..,k \] Wir wollen annehmen, da\ss \ k = 5, und da\ss \ die 5 Tests die in Abb. 1 aufgef\"uhrten Ergebnisse gebracht haben. \vspace{2ex} \begin{small} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \multicolumn{6}{|c|} {\ } \\ \multicolumn{6}{|c|} {{\bf Abb. 1}} \\ \multicolumn{6}{|c|} {\ } \\ \hline & & sign. & Rang der & krit. Grenze & sign. \\ Test & p & nach B. & p-Werte & nach B.H. & nach B.H. \\ \hline 1 & 0.011 & & (2) & 0.0125 & + \\ 2 & 0.062 & & (5) & 0.0500 & \\ 3 & 0.015 & & (3) & 0.0167 & + \\ 4 & 0.040 & & (4) & 0.0250 & \\ 5 & 0.002 & + & (1) & 0.0100 & + \\ \hline \end{tabular} \end{small} \vspace{2ex} Wenn man diese Testergebnisse transformieren w\"urde in die Aussage ``Die neue Sorte ist der alten mindestens in den Eigenschaften 1,3,4 und 5 um die jeweiligen kritischen Differenzen \"uberlegen, dann h\"atte diese Aussage nicht die geforderte Irrtums\-wahrscheinlichkeit von $\alpha$ = 0.05, sondern eine gr\"o\ss ere. Die bekannte Regel ``Lehne $H_0$ ab, wenn die \"Uberschreitungswahrscheinlichkeit kleiner gleich $\alpha$ ist'', gilt nur, wenn sie auf einen einzigen Test angewandt wird. Wenn man sie unkritisch auf eine ganze Schar von vielleicht vielen Hypothesen anwendet, kann die Irrtumswahrscheinlichkeit leicht sogar 50 \% \"uberschreiten! Man braucht also unbedingt ein Verfahren, das die Irrtumswahrscheinlichkeit auch f\"ur solche Aussagen garantiert, die auf den Ergebnissen mehrerer Tests beruhen. Ein solches Verfahren nennt man einen {\bf multiplen} Test. Ein solcher multipler Test w\"ahlt aus einer Menge getesteter $H_0^j$ eine Untermenge von abzulehnenden Hypothesen aus, wobei er garantiert, da\ss \ mit Wahrscheinlichkeit gr\"o\ss er gleich $1-\alpha$ {\bf keine} der abgelehnten $H_0^j$ wahr ist. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit daf\"ur, da\ss \ auch nur {\bf eine} der abgelehnten Testhypothesen wahr ist, mu\ss \ kleiner gleich $\alpha$ sein. In diesem Fall sagt man, da\ss \ der Test das multiple Niveau $\alpha$ h\"alt und nennt $\alpha$ die multiple Irrtumswahrscheinlichkeit. In gr\"o\ss erem Stil besch\"aftigt man sich mit der Theorie des multiplen Testens seit der grundlegenden Ver\"offentlichung von {\sc Gabriel} (1969). Eine sehr klare \"Ubersicht \"uber die grundlegenden Konzepte gibt aus mathematischer Sicht {\sc Sonnemann} (1981,1982). Das bekannteste (oder vielleicht besser das am wenigsten unbekannte) und gleich\-zeitig einfachste multiple Testverfahren ist die Bonferroni-Prozedur. Sie basiert auf der folgenden, von {\sc Bonferroni} (1936) publizierten Ungleichung: Es seien $B_i (i=1,..,k)$ Ereignisse, die mit den Wahrscheinlichkeiten $P(B_i)$ auftreten. Dann gilt f\"ur die Ver\-einigung der $B_i$, (d.h., da\ss \ $B_1$ {\bf oder} .. {\bf oder} $B_k$ auftritt) \[ P \; ( \bigcup_{j=1}^k \: B_j) \; \le \; \sum_{j=1}^k \: P(B_j) \] Diesen Satz k\"onnen wir anwenden, um ein multiples Testverfahren zu konstruieren: Es sei $B_j$ das Ereignis: ``$H_0^j$ wird irrt\"umlich abgelehnt''. Wenn wir auf $H_0^j$ einen Test mit der einfachen Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha / k$ anwenden, dann ist $P(B_j)$ entweder gleich $\alpha/k$ (n\"amlich dann, wenn $H_0^j$ wahr ist) oder gleich 0 (falls $H_0^j$ falsch ist; denn eine falsche Hypothese kann nicht {\bf irrt\"umlich} abgelehnt werden). Also ist $P(B_j)$ in jedem Fall kleiner gleich $\alpha/k$, folglich ist die Summe der $P(B_j)$ kleiner gleich $\alpha$. Aus dieser \"Uberlegung l\"a\ss t sich ableiten, wie man ein Testverfahren konstruieren kann, das die multiple Irrtwnswahrscheinlichkeit $\alpha$ garantiert: Man lehnt diejenigen Testhypothesen ab, die eine \"Uberschreitungswahrscheinlichkeit von weniger als $\alpha/k$ liefern. Wir wollen dieses Verfahren nun auf die in Abb. 1 aufgef\"uhrten Testergebnisse anwenden, wobei wir wie gew\"ohnlich $\alpha$ = 0.05 setzen. Wir lehnen diejenigen Testhypothesen ab, deren \"Uberschreitungswahrscheinlichkeiten kleiner gleich 0.05/5=0.01 sind. Bei unserem Beispiel k\"onnen wir nur die 5. Hypothese ablehnen (siehe Spalte ``signifikant nach B(onferroni)''). Wenn wir das Bonferroni-Verfahren anwenden, wissen wir, da\ss \ die multiple Irrtums\-wahrscheinlichkeit kontrolliert bleibt. Trotzdem hat die Methode einen gravierenden Nachteil: Sie ist verh\"altnism\"a\ss ig unscharf. Das bedeutet, da\ss \ sie auch {\bf falsche} Testhypothesen nicht mit einer gen\"ugend hohen Wahrscheinlichkeit ablehnt. Deshalb hat man nach Verbesserungen des Verfahrens gesucht, um falsche Hypothesen mit gr\"o\ss erer Wahrscheinlichkeit auch als falsch zu erkennen, ohne dabei die Kontrolle \"uber die multiple Irrtumswahrscheinlichkeit erster Art zu verlieren. In den Jahren 1977 und 1979 ver\"offentlichte der skandinavische Statistiker {\sc Holm} eine solche Verbesserung des Bonferroni-Verfahrens, die man heute i.a. {\bf Bonferroni-Holm-Verfahren} nennt. Die Vorgehensweise ist die folgende: Man ordnet die Testhypothesen nach ihren \"Uberschreitungswahrscheinlichkeiten $p$. \ In unserem Beispiel \ \ (Abb.~1) ist $H_0^5$ diejenige mit dem kleinsten $p$. Dieses kleinste $p$ vergleicht man mit $\alpha/k$, also mit 0.01. Wenn $p_5$ gr\"o\ss er als 0.01 w\"are, m\"u\ss ten wir das Verfahren beenden und d\"urften keine Testhypothese ablehnen. Da aber in diesem Fall $p_5 < 0.01$, lehnen wir die entsprechende Hypothese ab und fahren mit dem Verfahren fort. Wir vergleichen nun das zweitkleinste $p$ (das ist $p_1$) mit $\alpha/(k-1)$, also mit 0.0125. Da $p_1 < 0.0125$, d\"urfen wir auch $H_0^1$ verwerfen und weitertesten. Das drittkleinste $p$, also $p_3$, ver\-glei\-chen wir mit $\alpha/(k-2)=0.0167$ und k\"onnen auch $H_0^3$ ablehnen. Dann vergleichen wir $p_4$ mit $\alpha/(k-3)=0.025$, und diesmal stellen wir fest, da\ss \ dieses $p$ zu gro\ss \ ist. Folglich beenden wir das Verfahren hier. Das Endergebnis des Bonferroni-Holm-Verfahrens lautet: Die Testhypothesen $H_0^1$, $H_0^3$ und $H_0^5$ sind falsch. Das bedeutet, da\ss \ die neue Weizensorte der alten mindestens in den Eigenschaften 1, 3 und 5 \"uberlegen ist. Verglichen mit dem einfachen Bonferroni-Verfahren haben wir also zwei weitere Unterschiede statistisch abgesichert. \"Uber die Eigenschaften 2 und 4 (!) k\"onnen wir keine Aussage machen. Wenn man, wie bei dem gerade besprochenen Beispiel, mehrere unterschiedliche Eigenschaften bei zwei Pflanzensorten vergleicht, dann sind die entsprechenden Testhypothesen logisch unabh\"angig. Das bedeutet, da\ss \ es von jeder m\"oglichen Kombination dieser Hypothesen denkbar ist, da\ss \ genau sie richtig und die anderen falsch sind. Bei andersartigen Testfamilien ist es jedoch oft so, da\ss \ daraus, da\ss \ eine bestimmte Hypothese falsch ist, zwingend folgt, da\ss \ die anderen nicht gleichzeitig wahr sein k\"onnen. Betrachten wir z.B. folgendes Beispiel: Man m\"ochte 4 Weizensorten bez\"uglich einer einzigen Eigenschaft miteinander vergleichen. Zu diesem Zweck konstruiert man eine Hypothesenfamilie, die aus $H_0^1$ bis $H_0^6$ besteht (siehe Abb. 2, die dort definierte $H_0^g$ soll vorl\"aufig nicht beachtet werden). \vspace{2ex} \begin{small} \begin{tabular}{|c|c|c|c||c|c|c|} \hline \multicolumn{7}{|c|} {\ } \\ \multicolumn{7}{|c|} {{\bf Abb.2}} \\ \multicolumn{7}{|c|} {\ } \\ \multicolumn{7}{|c|} {Beispiel f\"ur das verbesserte Bonferroni-Holm-Verfahren} \\ \multicolumn{7}{|c|} {Vergleich der Parameter aus 4 Stichproben} \\ \multicolumn{7}{|c|} {\ } \\ \multicolumn{7}{|l|} { $H_0^g \; = \; \bigcap_{j=1}^k \, H_0^j \, : \, \mu_1=\mu_2=\mu_3=\mu_4$ } \\ \multicolumn{7}{|c|} {\ } \\ \hline & & p & & & & \\ \hline $H_0^g$ & & 0.014 & & G & p $<$ 0.05 & + \\ $H_0^1$ & $\mu_1 = \mu_2$ & 0.022 & &(4)& p $>$ 0.05/3=0.0167 & - \\ $H_0^2$ & $\mu_1 = \mu_3$ & 0.042 & &(5)& & \\ $H_0^3$ & $\mu_1 = \mu_4$ & 0.013 & &(3)& p $<$ 0.05/3=0.0167 & + \\ $H_0^4$ & $\mu_2 = \mu_3$ & 0.151 & &(6)& & \\ $H_0^5$ & $\mu_2 = \mu_4$ & 0.001 & + &(1)& p $<$ 0.05/3=0.0167 & + \\ $H_0^6$ & $\mu_3 = \mu_4$ & 0.009 & + &(2)& p $<$ 0.05/3=0.0167 & + \\ \hline \end{tabular} \end{small} \vspace{2ex} Wenn wie in diesem Fall $H_0^5$ falsch ist, dann ist es unm\"oglich, da\ss \ $H_0^1$ und gleich\-zeitig $H_0^3$ (oder $H_0^4$ und gleich\-zeitig $H_0^6$) wahr sind. Bei solchen logisch nicht unabh\"angigen Hypothesen kann man das Bonferroni-Holm-Verfahren mit einer Methode verbessern, die von {\sc Shaffer} (1986) ver\"offentlicht wurde: Zun\"achst vergleicht man wieder die klein\-ste \"Uberschreitungswahrscheinlichkeit mit $\alpha/k$. Falls dieses $p < \alpha/k$, lehnen wir die entsprechende Testhypothese ab und vergleichen dann das zweitkleinste $p$ mit $\alpha$ dividiert durch die Anzahl derjenigen Hypothesen, die h\"ochstens noch wahr sein k\"onnen, wenn die abgelehnte Hypothese tats\"achlich falsch ist. In unserem Fall k\"onnen h\"ochstens noch 3 andere Hypothesen gleichzeitig wahr sein, falls $H_0^5$ falsch ist. Deshalb vergleicht man das zweitkleinste $p$ mit $\alpha/3 = 0.0167$ und lehnt die entsprechende Hypothese ab. Das folgende $p$ vergleicht man ebenfalls mit $\alpha/3$; denn auch wenn $H_0^5$ und $H_0^6$ falsch sind, k\"onnen immer noch 3 der anderen Hypothesen richtig sein. Bei dieser Vorgehensweise k\"onnen wir auch $H_0^3$ ablehnen. Die folgende Hypothese kann allerdings nicht mehr abgelehnt werden. Wir erhalten somit die zusammengesetzte Aussage: `` $\mu_4$ ist von allen anderen $\mu$'s verschieden''. Es ist leicht zu sehen, da\ss \ wir bei Anwendung des Bonferroni-Holm-Verfahrens ohne die Shaffer-Verbesserung nur $H_0^5$ und $H_0^6$ h\"atten ablehnen k\"onnen, bei Anwendung des einfachen Bonferroni-Verfahrens sogar nur $H_0^5$. Leider kann auch dieses Verfahren zu unbefriedigenden Ergebnissen f\"uhren. Man mu\ss \ ja jedesmal die kleinste \"Uberschreitungswahrscheinlichkeit mit $\alpha$ dividiert durch Gesamtzahl der Hypothesen vergleichen und das Verfahren sofort abbrechen, falls sie gr\"o\ss er ist. Manchmal hat man es mit sehr vielen Testhypothesen zu tun. Vergleicht man z.B. Kennzahlen aus 10 Stichproben, so erh\"alt man 45 Testhypothesen. Um eine multiple Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 \% zu garantieren, mu\ss \ man das kleinste $p$ mit 0.0011 vergleichen. Selbst wenn es in der Grundgesamtheit betr\"achtliche Unterschiede geben sollte, ist nicht damit zu rechnen, da\ss \ die kleinste \"Uberschreitungswahrschein\-lich\-keit oft einen so geringen Betrag hat. Folglich bek\"ame man in diesem Fall von der multiplen Testprozedur noch nicht einmal dasjenige Ergebnis, das man bei Anwendung der einfachen Varianzanalyse vermutlich bekommen w\"urde, n\"amlich da\ss \ es Unterschiede zwischen den Kennzahlen gibt, wenn man auch nicht sagen kann, zwi\-schen welchen von ihnen. Gl\"ucklicherweise kann man die besprochenen Verfahren mit einem vorgesetzten Test der {\bf globalen} Testhypothese kombinieren. Diese globale Testhypothese behauptet, da\ss \ es \"uberhaupt keine Unterschiede gibt. In Abb. 2 ist sie unter dem Namen $H_0^g$ definiert. Man k\"onnte sie z.B. mit einer einfachen Varianzanalyse testen. Falls in einer Hypothesenfamilie eine solche globale Hypothese existiert, kann man zun\"achst deren \"Uberschreitungswahrscheinlichkeit mit dem vollen $\alpha$ vergleichen. Falls dieser Test nicht signifikant w\"are, m\"u\ss ten wir das Verfahren schon hier beenden. In unserem Fall liefert der globale Test jedoch ein signifikantes Ergebnis; wir verwerfen also die globale Hypothese und fahren fort. Jetzt vergleichen wir die kleinste \"Uberschreitungswahrschein\-lichkeit mit $\alpha/3$; denn nach der Ablehnung der globalen Hypothese k\"onnen h\"ochstens noch 3 der anderen Hypothesen gleichzeitig wahr sein. Bei diesem Beispiel erhalten wir schlie\ss lich das gleiche Ergebnis wie vorher, aber oft erweist sich dieser kombinierte Test als trennsch\"arfer (d.h. er liefert h\"aufiger ein signifikantes Ergebnis) als der einfache Test ohne diese Kombination. Im Fall des Vergleichs von {\bf drei} Stichproben erhalten wir das interessante Ergebnis, da\ss \ wir, nachdem die Globalhypothese abgelehnt ist. jeden der 3 einfachen Vergleiche mit der vollen Irrtumswahrscheinlichkeit $\alpha$ durchfuhren k\"onnen; denn falls $H_0^g$ falsch ist, dann kann h\"ochstens noch eine einzige der einfachen Hypothesen wahr sein (und wir vergleichen ihre \"Uberschreitungswahrscheinlichkeiten folglich mit $\alpha/1 = \alpha$). Die Testprozeduren, die ich hier besprochen habe, habe ich am Beispiel von Hypothesen \"uber die Gleichheit von Parametern erl\"autert und auch erw\"ahnt, da\ss \ man die Globalhypothese mit einer Varianzanalyse und die einfachen Hypothesen mit t-Tests testen kann. Ich m\"ochte aber sehr deutlich unterstreichen, da\ss \ die hier erw\"ahnten Testverfahren absolut nicht auf diesen Fall beschr\"ankt sind. Man kann sie bei beliebigen Hypothesenfamilien verwenden, die sich auf beliebige statistische Modelle beziehen und mit einem beliebigen Test getestet worden sind, sei es der Test von Wilcoxon, Kolgomoroff-Smirnoff oder irgend ein anderer. Daneben gibt es auch multiple Testverfahren, die auf ganz bestimmte Modelle zugeschnitten sind; auf sie m\"ochte ich aber hier nicht eingehen. Schlie\ss lich m\"ochte ich noch darauf eingehen, in welcher Form die m\"oglichen Ergebnisse multipler Testverfahren vorliegen k\"onnen. Nehmen wir an, wir haben eine Hypothesenfamilie, wie sie in Abb. 3 gezeigt ist. Die jeweils abgelehnten Testhypothesen sind durch Kreuze gekennzeichnet. \vspace{2ex} \begin{small} \begin{tabular}{|c|c|c|c||c|c|c|} \hline \multicolumn{7}{|c|} {\ } \\ \multicolumn{7}{|c|} {{\bf Abb. 3}} \\ \multicolumn{7}{|c|} {\ } \\ \multicolumn{7}{|c|} {M\"ogliche Ergebnisse eines multiplen Testverfahrens} \\ \multicolumn{7}{|c|} {beim Vergleich der Parameter aus 3 Stichproben} \\ \multicolumn{7}{|c|} {\ } \\ \hline & & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline & & & & & & \\ $H_0^g$ : & $\mu_1 = \mu_2 = \mu_3$ & - & + & + & + & + \\ & & & & & & \\ $H_0^1$ : & $\mu_1 = \mu_2$ & + & + & + & + & - \\ $H_0^2$ : & $\mu_1 = \mu_3$ & - & + & + & - & - \\ $H_0^3$ : & $\mu_2 = \mu_3$ & - & + & - & - & - \\ & & nicht & & & & \\ & & koh\"arent& & & & \\ \hline \end{tabular} \end{small} \vspace{2ex} Betrachten wir zun\"achst die Ergebnisspalte 1. Falls wir ein solches Ergebnis be\-k\"a\-men, m\"u\ss ten wir sagen, da\ss \ $\mu_1 \ne \mu_2$, da\ss \ aber m\"oglicherweise $\mu_1=\mu_2=\mu_3$. Ein solches unsinniges, in sich widerspr\"uchliches Ergebnis eines multiplen Testverfahrens nennt man ``nicht koh\"arent''. Bei der Konstruktion multipler Testverfahren hat man unbedingt darauf zu achten, da\ss \ nur koh\"arente Ergebnisse auftreten k\"onnen. Das l\"a\ss t sich z.B. dadurch erreichen, da\ss \ man, wie oben beschrieben, den Einzeltests einen glo\-balen Test vorausschickt. Trotzdem ist es unvermeidlich, da\ss \ auch koh\"arente Testverfahren Ergebnisse produzieren k\"onnen, die den Versuchsansteller nicht voll befriedigen. Die Ergebnisse in den Spalten 2 und 3 sind sehr leicht zu interpretieren: Ergebnis 2 bedeutet, da\ss \ alle Parameter sich unterscheiden, und aus Ergebnis 3 ist zu schlie\ss en, da\ss \ $\mu_1 \ne \mu_2$ und $\mu_1 \ne \mu_3$. Weniger zufriedenstellend ist das Ergebnis in Spalte 4: Es bedeutet, da\ss \ $\mu_1 \ne \mu_2$. Daraus folgt, da\ss \ notwendigerweise entweder $\mu_1 \ne \mu_3$ oder $\mu_2 \ne \mu_3$ Wir k\"onnen aber nicht entscheiden, {\bf welche} dieser beiden Aussagen richtig ist, obwohl wir genau wissen, da\ss \ eine von ihnen richtig sein {\bf mu\ss \ }. Noch unbefriedigender ist das Ergebnis in Spalte 5: Wir m\"ussen folgern, da\ss \ nicht alle $\mu$'s gleich sind, wir wissen aber nicht, zwischen welchen von ihnen die Unterschiede bestehen. Leider k\"onnen derartige Ergebnisse auftreten, und es gibt keine M\"oglichkeit, sie von vornherein auszuschlie\ss en. In der Angewandten Statistik ist es nicht die Ausnahme, sondern die Regel, da\ss \ eine Aussage auf den Ergebnissen mehrerer, manchmal sogar sehr vieler Tests beruht. Man denke z.B. an medizinische Untersuchungen \"uber Haupt- und Nebenwirkungen von Arzneimitteln, die man in mehreren Krankenh\"ausern und au\ss erdem noch in Tierversuchsanstalten durchf\"uhrt, und bei denen man viele physiologische Gr\"o\ss en mi\ss t. Das Gleiche gilt f\"ur epidemiologische Untersuchungen, sei es von menschlichen Krankheiten, sei es im Zusammenhang mit dem Waldsterben. In jedem dieser F\"alle testet man niemals eine einzige Hypothese, sondern stets eine Hypothesenfamilie, um eine statistisch abgesicherte Aussage zu bekommen. Leider wendet man in der Praxis bisher nur selten die f\"ur diesen Fall ad\"aquaten Verfahren an; und ich hoffe, durch diesen Vortrag ein wenig zu ihrer Verbreitung beigetragen zu haben. \ {\bf Literaturverzeichnis} \begin{description} \item[Bonferroni,C.E.], 1936 : Theoria statistica classi e calcolo delle probabilit\'a. \\ Pubbl.R.Int.Super.Sci.Econ.Comm. Firenze 8 : 1-62. \item[Gabriel,K.R.], 1969 : Simultaneous test procedures - some theory of multiple comparisons. Ann.Math.Statist. 40, 224-250. \item[Holm,S.], 1977 : Sequentially rejective multiple test procedures.\\ Statistical research report 1977-1, University of Umea, Sweden \item[Holm,S.], 1979 : A simple sequentially rejective multiple test procedure.\\ Scand.J.Statist. 6, 65-70. \item[Shaffer,J.P.], 1986 : Modified sequentially rejective multiple test procedures. \\ J.Am.Statist.Assoc. 81, 826-831. \item[Sonnemann,E.], 1981 : Tests zum multiplen Niveau $\alpha$. Simultane Hypo\-thesen\-pr\"ufungen; Tagungsbericht der Region \"Osterreich-Schweiz der Inter\-natio\-nalen Biometrischen Gesellschaft Bad Ischl (A) 1981 \item[Sonnemann,E.], 1982 : Allgemeine L\"osungen multipler Testprobleme.\\ EDV Med. Biol. 13, 120-128. \end{description} {\bf Anschrift des Verfassers:} \\ Prof. Dr. H.D. Quednau, Forstwiss. Fakult\"at der LMU, \\ Am Hochanger 13, D-85354 Freising \\ email : quednau@lrz.uni-muenchen.de \\ WWW: http://www.forst.uni-muenchen.de/$\sim$quednau/ \end{document}